Problema Avance 3

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La Refinería Azteca produce dos tipos de gasolina sin plomo, regular y extra los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12  y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de la Azteca de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones:

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

¿Qué cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar la Azteca en 

ambas gasolinas, a fin de maximizar la ganancia semanal? 

Haciendo: 

X1 : barriles de petróleo nacional mezclado en la regular  

X2 : barriles de petróleo importado mezclado en la regular  

X3 : barriles de petróleo nacional mezclado en la extra 

X4 : barriles de petróleo importado mezclado en la extra

Se producirá una cantidad X1 + X2 de gasolina regular y generará un ingreso de 12(X1 + X2), 

se producirá una cantidad X3 + X4 de extra y generará un ingreso de 14(X1 + X2). Se usará 

una cantidad X1 + X3 de petróleo nacional, a un costo de 8(X1 + X3); se usará una cantidad 

X2 + X4 de importado, a un costo de 15(X1 + X3). La ganancia total, z, es el ingreso menos el 

costo: 

Maximícese: z = 12(X1 + X2) + 14(X3 + X4) - 8(X1 + X3) - 15(X2 + X4)= 4X1-3X2 + 6X3- X4      (1)

Hay limitaciones impuestas a la producción por la demanda, la disponibilidad de suministros y las especificaciones de la mezcla. Se tiene de las demandas: 

X1 + X2 <= 100 000   (demanda máxima de regular) (2) 

X3 + X4 <= 20000   (demanda máxima de extra)  (3)

X1 + X2 >= 50000   (requerimiento máximo regular)  (4)

X3 + X4 >= 5000   (requerimiento mínimo de extra) (5) 

De la disponibilidad: 

X1 + X3 <= 40000   (nacional) (6) 

X2 + X4 <= 60000    (importado) (7) 

Los componentes de una mezcla contribuyen al octanaje general, según sus porcentajes por 

peso; asimismo para la presión de vapor. Entonces, el octanaje de la regular es: 

87 X1/(X1+X2) + 98 X2/(X1+X2) 

y el requerimiento de que éste sea de por lo menos 88, lleva a: 

X1 – 10X2 <= 0  (8)

Igualmente, se obtiene: 

            6X3 – 5X4 <= 0    (restricción de octanaje de la extra)  (9)

            2X1-8X2   <= 0   (restricción de presión de vapor regular)  (10) 

            2X3-8X4   <= 0   (restricción depresión de vapor extra)  (11)

Combinando de (1) hasta (11) con las cuatro restricciones de no negatividad de las cuatro 

variables, se obtiene el programa matemático 

RESOLVIENDO CON EL WINQSB

INGRESO DE DATOS DEL PROBLEMA

DEFINIENDO FUNCIÓN MAXIMIZAR Y RESTRICCIONES

RESULTADO DEL PROBLEMA

Problema sacado de : http://web.frm.utn.edu.ar/ioperativa/PL-Problemas%20resueltos.pdf

Problema Avance 2

Considerar que la empresa de inversiones EL SOL ESTA FUERTE acaba de obtener fondos de un cliente por S/. 100,000 y está buscando oportunidades de inversión. Con base a las inversiones actuales, el analista financiero principal de la empresa recomienda que todas las nuevas inversiones se efectúen en empresas del sector minero, empresas del sector agroindustrial o en bonos del gobierno. Específicamente, el analista ha identificado las siguientes oportunidades de inversión:

Inversión	Tasa de rendimiento proyectado (%)
Minera Atacocha	7.3
Minera San Vicente	10.3
Compañía Agroindustrial La Hacienda	6.4
Agrícola Oxapampa S.A.C.	7.5
Bonos del gobierno	4.5

La administración de la empresa EL SOL ESTA FUERTE ha impuesto las siguientes guías de inversión:

·         Ningún sector (minero o agroindustrial) debe recibir más de S/. 50,000.

·         Los bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones en el sector agroindustrial.

·         En las inversiones en la Minera San Vicente, dado  que es de elevado rendimiento pero de alto riesgo, no pueden superar el 60% del total de las inversiones en el sector minero.

INGRESANDO DATOS EN EL WINQSB

 INGRESANDO DATOS DE VARIABLES Y RESTRICCIONES

GENERANDO RESULTADOS

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Analisis de Sensibilidad

Método gráfico parte 2

Figura 1-22. Región factible para la restricción de la materia prima 3, ejemplo QUIMCAR.

Ahora se tienen tres gráficas por separado que muestran las soluciones factibles para cada una de las restricciones. En un problema de programación lineal, se necesita identificar las soluciones que satisfacensimultáneamente todas las restricciones. Las gráficas de las Figura 1-20, Figura 1-21 y Figura 1-22 se pueden superponer para obtener una intersección gráfica de las tres restricciones. La Figura 1-23 muestra esta gráfica de restricciones combinadas. La región sombreada de esta figura incluye todos los puntos solución que simultáneamente, satisfacen todas las restricciones. Las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones del sistema se conocen como factibles, la parte sombreada se conoce como la región de soluciones factibles, o simplemente región factible. Cualquier punto en las fronteras de la región factible, o bien en su interior, es un punto de solución factible. Ahora que se ha identificado la región factible, se puede seguir adelante con el método de solución gráfica y determinar cuál es la solución óptima para el problema de QUIMCAR. Recuerde que la solución óptima para un problema de programación lineal es la solución factible que aporte el mejor valor de la función objetivo.

Figura 1-23. Región de soluciones factibles del problema ejemplo QUIMCAR.

Se inicia el paso de optimización del procedimiento de solución gráfica volviendo a dibujar la región factible en una gráfica por separado. La Figura 1-24 muestra dicha gráfica.

El procedimiento para determinar la solución óptima evaluando la función objetivo para cada una de las soluciones factibles, no es posible pues hay demasiadas, (de hecho, una infinidad). Por lo tanto, para identificar la solución óptima no se debe utilizar un procedimiento de ensayo y error. En vez de intentar calcular la contribución a la utilidad de cada solución factible, se selecciona un valor arbitrario de la contribución a la utilidad y se identifican todas las soluciones factibles (X₁, X₂) que dan el valor seleccionado.

Figura 1-24. Región factible del problema ejemplo QUIMCAR.

Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles dan una contribución a la utilidad de 2400 dólares? Estas soluciones se dan por los valores de X₁ y X₂ de la región factible que cumplan con la siguiente función objetivo que se puede simplificar para obviar cálculos, así:

Ésta expresión es simplemente la ecuación de una línea recta, por lo que todas las soluciones factibles (X₁, X₂), con una contribución a la utilidad de 24 dólares deben estar en esta línea. Ya se aprendió como trazar una línea de restricción; el procedimiento para trazar la línea de la función objetivo o de utilidad es el mismo. Haciendo X₁=0, se tiene que X₂ debe ser 8; entonces, el punto de solución (X₁=0, X₂=8) está en la recta. Similarmente, haciendo X₂ = 0, se tiene que el punto de solución (X₁=6, X₂ = 0), también está en la recta. Dibujando la línea recta por estos puntos, se identifican todas las soluciones que tienen una contribución a la utilidad de 24; una gráfica de esta línea de utilidad se presenta en la Figura 1-25 que muestra un número infinito de combinaciones factibles de producción que darán una contribución de 24 a la utilidad.

Utilizando el procedimiento anterior para el trazado de rectas de utilidad y de restricción, se trazan la línea de utilidad de 72 y 120 que se presentan en la misma Figura 1-25. Por supuesto, sólo los puntos de las rectas de valor 24, 72 y 120 que están dentro de la región factible, deben considerarse como soluciones factibles para tal contribución de utilidad.

Figura 1-25. Diferentes líneas de utilidad para el problema ejemplo QUIMCAR

Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor creciente conforme se alejan del origen, se pueden obtener valores mayores para la función objetivo, continuando el movimiento hacia fuera del conjunto factible pero manteniéndose adentro del mismo, hasta alcanzar el (los) último(s) punto(s) vértice antes de salir. Dado que los puntos fuera de la región factible no son aceptables, el (los) punto(s) vértice en la región factible que coincide(n) con la recta de utilidad mayor es una solución óptima al programa lineal.

El estudiante debe identificar ahora, el punto de solución óptimo para el problema ejemplo QUIMCAR. Utilice una regla y escuadra, mueva paralelamente la recta de utilidad tan lejos del origen como pueda, pero conservando el contacto en la zona factible. ¿Cuál es el último punto de la región factible? Este punto debe ser vértice y corresponde a la solución óptima, vea el gráfico de la Figura 1-26. Los valores óptimos para las variables de decisión son ( X₁, X₂) = ( 25, 20 ).

Figura 1-26. Solución óptima para el problema ejemplo QUIMCAR.

Dependiendo del tamaño y claridad de su gráfica, se determinan los valores óptimos exactos de X₁ y X₂ leyendo directamente de la gráfica. Pero observe en la Figura 1-23, la solución óptima del ejemplo está en laintersección de las rectas de restricción 1 y 3 que se pueden resolver para precisar los valores coordenados.

Por lo que los valores de las variables de decisión X₁ y X₂ deberán satisfacer las ecuaciones de manera simultánea. Resolviendo en función de X₁ en (1)

Sustituyendo esta expresión (4) de X₁ en la ecuación (3) y resolviendo en función de X₂ se obtiene

Sustituyendo X₂ =20 en la ecuación (4) y resolviendo en función de X₁, resulta

A pesar de que la solución óptima para el problema está formada de valores enteros de las variables de decisión, esto no será siempre el caso. La localización exacta del punto de solución óptima es X₁ =25 y X₂ =20. Este punto identifica las cantidades óptimas de producción para QUIMCAR en 25 toneladas de cera automotriz y 20 toneladas de pasta pulidora, con una contribución a la utilidad de:

Así, en un problema de programación lineal con dos variables de decisión, se puede determinar el valor exacto de las variables de la solución óptima, utilizando primero el método gráfico para identificar el punto que optimiza y después resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones que generan el mismo.

Trazo de líneas rectas

Un aspecto importante del método gráfico es la posibilidad de trazar líneas rectas representando las restricciones y la función objetivo del programa lineal. El procedimiento más sencillo para trazar la recta de una ecuación, es encontrando dos puntos cualesquiera que la satisfagan y a continuación trazando la recta a través de dichos puntos. En el caso de la línea recta de restricción de la materia prima 1 del problema QUIMCAR

se identifican los dos puntos (X₁ = 0, X₂ = 40) y (X₁ = 50, X₂ = 0). Después se traza la línea recta de restricción de la materia prima 1 a través de estos dos puntos.

Cuando en la ecuación de restricción sólo aparece una variable, como es el caso de la materia prima 2 del problema (1/5 X₂ <= 5), se resuelve en función de la única variable que aparece en la ecuación (para esta restricción, X₂ =25); es claro que en tal ecuación X₁ = 0 pues no está presente, así (X₁ =0, X₂ =25) representa el punto en el eje X₂ por donde debe pasar una recta paralela al eje X₁.

Todas las rectas de restricción y de funciones objetivo en los programas lineales de dos variables, se pueden trazar si se pueden identificar los puntos de la línea. Sin embargo, determinar dichos puntos no siempre es tan fácil como resultó en el problema QUIMCAR. Por ejemplo, considere la restricción:

Usando la forma de igualdad y haciendo X₁ = 0, se tiene que el punto (X₁ = 0, X₂ = -100) pertenece a la recta de restricción. Si X₂=0, se tiene el segundo punto (X₁ = 50, X₂ = 0) sobre la misma recta de restricción. Si se ha dibujado sólo la porción no negativa (X₁ >= 0, X₂ >= 0) correspondiente al primer cuadrante de la gráfica, entonces no se puede fijar el primer punto (X₁ = 0, X₂ = -100), porque no hay escala para valores negativos en la gráfica tal como es X₂ = -100. Siempre que se tengan dos puntos de la recta, con uno o ambos valores negativos, el procedimiento gráfico obligado es incluir la escala negativa a los dos ejes coordenados horizontal y vertical, incluyendo los cuadrantes necesarios. En este ejemplo, se puede localizar el punto (X₁ = 0, X₂ = -100) extendiendo hacia abajo el eje vertical para incluir los valores negativos de X₂. Una vez localizados los dos puntos que satisfacen la ecuación y el conjunto de soluciones factibles para la nueva restricción de ejemplo 2X₂ - 1X₂ <= 100, entonces se procede a su trazo, según se ve en la siguiente figura: .

Figura 1-27. Soluciones factibles de la restricción 2X₁-1X₂ <= 100

Considere ahora la restricción: 1X₁ - 1X₂ >= 0 mostrada en la Figura 1-28. El lado derecho con valor cero en esta desigualdad, identifica una línea recta que contiene o pasa por el punto vértice conocido como origen. Para determinar las soluciones que satisfacen la restricción como igualdad, primero se hace X₁ = 0 y se resuelve en función de X₂. El resultado muestra que el origen (X₁= 0, X₂ = 0) está en la recta de restricción. Al hacer X₂ = 0 y al resolver para X₁, resulta en el mismo punto. Pero se puede obtener otro punto de la recta, al dar a X₂ un valor cualquiera distinto de cero y entonces resolver en función de X₁. Por ejemplo, haciendo que X₂ = 100 y resolviendo en función de X₁, se encuentra que el punto (X₁ = 100, X₂ = 100) también pertenece a la recta. En ambos puntos (X₁=0, X₂= 0) y (X₁ = 100, X₂ = 100) se puede trazar la línea de restricción 1X₁-1X₂= 0 y pueden determinarse las soluciones factibles para 1X₁ - 1X₂ >= 0.

Figura 1-28. Soluciones factibles de la restricción 1X₁ - 1X₂ >= 0

Resumen del método de solución gráfica en dos variables.

1. Dibuje en un sistema de dos ejes cartesianos (por ejemplo X₁ para la coordenada horizontal y X₂ para la coordenada vertical) las líneas rectas correspondientes a cada una de las expresiones lineales del modelo de programación lineal, identificando las mismas, calcule y anote las coordenadas (valores de X₁ y X₂) para cada punto vértice.
2. Observe la dirección de las desigualdades para definir, individualmente, el conjunto de puntos de solución factible de cada una de las restricciones y posteriormente, combinando todas ellas, por intersección o traslape, definir y señalar el conjunto de puntos de solución factible para todo el sistema de restricciones del problema.
3. Con un valor arbitrario para la función Z, calcule las coordenadas de un punto perteneciente a cada uno de los dos ejes cartesianos, dando alternativamente el valor de cero a X₁ y X₂ de la función objetivo Z, ahora se traza una recta que pase por dichos puntos en los ejes, la cual muestra todos los valores posibles de X₁ y X₂ de la misma.
4. Mueva la recta de la función objetivo Z paralelamente hacia valores mayores de la función, si el problema es de máximo, o bien, hacia valores menores, si el problema es de mínimo, hasta que coincida con un punto vértice, antes de salir de la región factible. La recta de la función objetivo se cuantifica con los valores ( X₁, X₂ ) al coincidir con el vértice; su valor crecerá o bien decrecerá conforme a su traslado paralelo, según sean los signos de sus términos.
5. Cualquier punto vértice que sea solución factible para el sistema de restricciones que coincida con la recta de la función objetivo que resulte con el valor mayor para un máximo o bien con el menor para un mínimo, según el caso, es una solución óptima.

Variables de Holgura

Además de la solución óptima y de su contribución a la utilidad asociada, la administración de QUIMCAR desea tener información de uso de las tres materias primas. Se puede obtener esta información reemplazando los valores óptimos de las variables (X₁=25, X₂=20) en las restricciones del programa lineal.

Figura 1-29. Material consumido: solución óptima cera y pasta, ejemplo QUIMCAR.

La solución completa le indica a la administración que la producción de 25 toneladas de cera automotriz y de 20 toneladas de pasta pulidora requiere toda la materia prima disponible 1 y 3, pero solamente cuatro de las cinco toneladas de la materia prima 2. La tonelada de la materia prima 2 no utilizada se conoce como holgura. En terminología de programación lineal, cualquier capacidad sin utilizar y ociosa para una restricción igual o menor (<=) se llama holgura asociada con la restricción, por lo que la restricción del recurso 2 tiene una holgura de una tonelada.

A menudo se agregan variables, conocidas como variables de holgura H_i, o bien X_i, (según la notación preferida) a la formulación de un problema de programación lineal para representar la capacidad ociosa. La capacidad sin utilizar no hace ninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holgura que se incluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. En general, las variables de holgura representan la diferencia entre los lados derecho e izquierdo de una restricción de tipo <=.

Una vez agregadas las variables de holgura a la representación matemática correspondiente al problema QUIMCAR el modelo matemático se convierte en:

Cuando todas las restricciones de un problema lineal se expresan en forma de igualdades, se dice que el modelo matemático está en forma estándar. En el problema QUIMCAR se observa que en la solución óptima (X₁=25, X₂ =20), el valor de las variables de holgura es:

Figura 1-30. Holguras de materia prima en ejemplo QUIMCAR.

Figura 1-31. Concepto físico de la holgura H₂ en ejemplo QUIMCAR.

También se puede utilizar el análisis gráfico para obtener la información de las holguras. Observe que al determinar la solución óptima de la Figura 1-26, el punto vértice que es intersección de la materia prima 1 y de la 3, restringen o limitan la región factible hasta ese punto vértice, por lo que la solución óptima requiere usar la totalidad de estos dos recursos. En otras palabras, la gráfica en Figura 1-23 muestra que en la solución óptima, la línea recta de restricción de la materia prima 2 no limita la región factible en ese punto vértice, por lo que se puede esperar algún sobrante (holgura) de este recurso.

Cuando en un gráfico se tienen rectas de restricción que sólo tocan un vértice del conjunto factible o bien ningún punto del mismo, se identifican como restricciones redundantes (sobrantes). En problemas con más de dos variables de decisión, se tienen métodos analíticos para detectar la redundancia.

En tal caso, la región factible se conserva igual, independientemente de que se incluya o no una restricción redundante del problema, por lo tanto se pueden eliminar sin que tengan ningún efecto sobre la solución óptima. Sin embargo, en la mayor parte de los problemas de programación lineal, las restricciones redundantes no se descartan porque no son reconocibles de inmediato como tales. El problema QUIMCAR no tiene restricciones redundantes pues todas las restricciones forman la frontera de la región factible.

Observaciones y comentarios

1. En la forma estándar de un programa lineal, los coeficientes para las variables de holgura son cero en la función objetivo, por lo tanto, las variables de holgura que representan recursos sin utilizar, no afectan el valor de la función y se pueden omitir. Pero en algunas aplicaciones, algunos o todos los recursos no utilizados pueden venderse para recuperar valores y contribuir a la utilidad. En estos casos las variables de holgura correspondientes se convierten en variables de decisión que representan el total de recursos a vender. Para cada una de estas variables, un coeficiente distinto de cero en la función objetivo reflejará la utilidad asociada con la venta de una unidad del recurso correspondiente.
2. Las restricciones redundantes no afectan la región factible; como consecuencia, pueden eliminarse de un modelo de programación lineal sin afectar la solución óptima. Sin embargo, si posteriormente se debe resolver el modelo de programación lineal con algunos cambios en los datos, una restricción previamente redundante se podría convertir en un recurso limitante, por lo que se sugiere conservar todas las restricciones del modelo de programación lineal, aun cuando se espere que una o más de ellas sean redundantes.

Puntos extremos y solución óptima

Suponga que la contribución a la utilidad de una tonelada de pasta pulidora se incrementa de 300 a 600 dólares, en tanto que la contribución a la utilidad de una tonelada de cera automotriz y todas las demás restricciones se mantienen sin modificación. La función objetivo se convierte en:

¿Cómo afecta este cambio de la función objetivo a la solución óptima del problema de QUIMCAR?. La Figura 1-32 muestra la solución gráfica del problema, utilizando la función objetivo modificada. Observe que las restricciones no tienen cambio, entonces la región factible es la misma; pero se han alterado las líneas rectas de utilidad para reflejar la nueva función objetivo.

Como se observa en la Figura 1-32, al mover la línea recta de utilidad de manera paralela, alejándola del origen, se encuentra la solución óptima. Los valores de las variables de decisión en este punto son X₁=18.75 y X₂ = 25. El aumento en la utilidad de la pasta pulidora ha creado un cambio en la solución óptima. De hecho, como quizás ya lo previó, se reduce la producción de la cera y aumenta la de pasta pulidora, porque ahora tiene una utilidad mayor.

Respecto de las soluciones gráficas de la Figura 1-26 y Figura 1-32 se debe hacer una observación importante: la solución óptima ocurre en alguno de los vértices o intersecciones de la región factible. En terminología de programación lineal, estos vértices se conocen como puntos extremos de la región factible, por lo que para este problema se tienen cinco vértices, es decir, cinco puntos extremos (Figura 1-32). Ahora se puede dar la observación siguiente sobre la localización de las soluciones óptimas.

Figura 1-32. Cambia óptimo: objetivo máximo Z = 400X₁ + 600 X₂, ejemplo QUIMCAR

Si existe la solución óptima de un problema de programación lineal, se puede encontrar en un punto extremo de la región factible del problema.

Esta propiedad significa que, si busca la solución óptima de un problema de programación lineal, debe limitarse a evaluar y comparar los puntos de solución correspondientes a los vértices de la región factible.

Ejercicio programación lineal

En este articulo veremos como se resuelve un ejercicio usando el programa WINQSB

Ejemplo:
Una fabrica de muebles fabrica dos tipos de sillones, S1 y S2. La fabrica cuenta con dos secciones;
carpintería y tapicería.
Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora de carpintería y 2 de tapicería, mientras que uno de tipo
S2 requiere 3 horas de carpintería y 1 de tapicería.
El personal de tapicería trabaja un total de 80 horas, y el de carpintería 90.
Las ganancias por las ventas de S1 y S2 (unidad) son, respectivamente 60 y 30 euros. Calcular
cuantos sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar las ganancias.



1. Leer el enunciado , determinar la función objetivo y definir las variables.
En este caso, queremos hacer m´aximo el beneficio, es decir, queremos maximizar una función.
Como queremos determinar las cantidades de sillones S1 y S2 respectivamente, llamemos x=nº
de unidades de S1 e y=nº de unidades de S2.
La función beneficio a maximizar sera: B(x, y) =  60 · x + 30 · y, que es la funcione son objetivo.


2. Reordenar los datos del problema y escribir las inecuaciones correspondientes.
En este paso es conveniente el uso de tablas:
Tiempo(horas) Carpinteria Tapiceria

De aqui se deduce que:
x + 3y ≤ 90
2x + y ≤ 80
y ademas
x ≥ 0
y ≥ 0
pues el nº de unidades producidas no puede ser negativo.
Ya tenemos por tanto las restricciones.



3. Creamos un nuevo proyecto en el WINQSB

4.- Seleccionamos OK  luego llenamos los datos  de acuerdo a la formulación.

5. Selecionamos Solve Analyze del menu principal y luego Solve the problem nos muestra el siguiente reporte.

6.  Luego para ver la solucion grafica selecionamos solve and analyze y luego Graphic Method

7. Luego se procede intpretar la solucion  y las variables.

Método gráfico

El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X₁, X₂ para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).

La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

Procedimiento:

Primero considere la infinidad de puntos que constituyen en conjunto el plano y los cuatro cuadrantes convencionalmente aceptados, para dividirlo en zonas caracterizadas por la combinación de signo que se puede dar, a los valores medidos con números reales. Para lograr los cuadrantes en el plano se utilizan los ejes cartesianos con escala de medición de valores de las variables del problema; por ejemplo, se puede asignar el eje horizontal de abscisas para la medición de valores de la variable X₁; también se puede asignar el eje vertical de ordenadas, para la medición de valores de la variable X₂. La localización de cualquier punto en este espacio plano requiere de una distancia horizontal (X₁) y de una distancia vertical (X₂) denotado como par ordenado o vector (X₁, X₂). Un punto sobre el eje X₁ corresponde a X₂=0 y un punto sobre el eje X₂ corresponde a X₁=0, que son las ecuaciones respectivas de los ejes horizontal y vertical. Dichos ejes se cruzan en el punto (X₁, X₂) = (0, 0), el cual se conoce como origen.

Si la ecuación tiene sólo dos variables, el gráfico de la misma sobre el plano es una línea recta, es decir, se requiere un espacio de dos dimensiones, la horizontal y la vertical, para graficar tal ecuación; pero la representación geométrica de una ecuación en tres variables, requiere un espacio de tres dimensiones. En tal caso, a los ejes X₁ y X₂, se les agrega un tercer eje X₃ como tercera dimensión, que pasa por el origen hacia el observador. Los gráficos de la Figura A y Figura B muestran lo anterior para una ecuación 

cualquiera:

Figura A. Gráfico de una ecuación en dos dimensiones.

Figura B. Gráfico de una ecuación en tres dimensiones.

El método gráfico proporciona la oportunidad de visualizar algunos de los conceptos importantes de la programación lineal. Pero tiene una gran limitación referente, a que sólo es posible aplicarlo en problemas muy pequeños; para este curso se limita el método gráfico aplicado a problemas con sólo dos variables. El método gráfico para resolver problemas que se han modelado con programación lineal consiste en asignar un eje cartesiano para cada una de las dos variables involucradas; de esta manera se asigna, por ejemplo, el eje horizontal como escala para los distintos valores que pueda tener la variable X₁; también se puede asignar el eje vertical con su respectiva escala para ubicar los distintos valores que puede tomar la variable X₂. Un sistema con dos ejes cartesianos, horizontal y vertical, permite representar en un espacio plano las líneas rectas que geométricamente hablando representan cada expresión matemática lineal con sólo dos variables. Las restricciones y condiciones de signo del problema, representan al sistema que debe graficarse en un plano y después se valora en el mismo la función económica Z, con la cual se busca un punto del sistema que maximice o bien minimice su valor.

Para mejor comprensión del método gráfico de solución de problemas modelados con programación lineal, se presenta el siguiente ejemplo que se detalla lo suficiente para el voluntarioso estudiante de esta técnica poderosa en su aplicación. Posteriormente se presentan otros ejemplos con el propósito de profundizar en la enseñanza e intentar mayor avance en el aprendizaje.

Ejemplo:

QUIMCAR es una empresa que elabora varios productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres recursos como materia prima de dos productos: una cera automotriz y una pasta pulidora, que se usan en la pintura de la carrocería a vehículos automotores y se distribuye para su venta al menudeo a varias empresas distribuidoras. Para producir la cera y la pasta se utilizan tres recursos, según se muestra en la siguiente tabla, en la cual se observa que una tonelada de cera es una mezcla de 2/5 de tonelada del recurso 1 y 3/5 de tonelada del 3. Por otro lado, una tonelada de pasta es la mezcla de 1/2, 1/5 y 3/10 de tonelada de los recursos 1,2 y 3, respectivamente.
La producción de la cera automotriz y la pasta pulidora está restringida a la disponibilidad de los tres recursos. Para el periodo de producción anual, se tienen disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias primas.

Figura 1-15. Recursos disponibles para la producción en ejemplo QUIMCAR.

Figura 1-16. Material requerido para cera y pasta pulidora en ejemplo QUIMCAR.

El departamento de contabilidad ha analizado las cifras de producción, asignando los costos correspondientes para ambos productos, llegó a precios que resultan en una contribución a la utilidad de 400 dólares por cada tonelada de cera automotriz y de 300 dólares por cada tonelada de pasta pulidora, producidas. La administración, después de analizar la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos aseguran la venta de toda la cera y pasta que se produzca.
El problema es determinar: 1º.-Un conjunto de expresiones matemáticas o modelo, representando el objetivo y restricciones del problema descrito. 2º.- Resolver en forma gráfica y determinar cuántas toneladas de cera y pasta debe producir la empresa para maximizar la contribución total a la utilidad.
Definición de las variables y función objetivo
Como ya se apuntó anteriormente, los problemas de programación lineal tienen un objetivo ya sea de máximo o bien de mínimo. En este problema, el objetivo es de maximizar la contribución a la utilidad y se plantea en forma matemática introduciendo alguna forma simple de notación, como sigue:

1a. Parte.-Definición de variables.-

Es importante precisar la unidad de medida:

2a. parte.- Función objetivo.-

La contribución a la utilidad se origina de: (1) la que proviene de la producción de X₁ toneladas de cera automotriz, y (2) la que proviene de la producción de X₂ toneladas de pasta pulidora. Dado que se gana 400 dólares por cada tonelada de cera producida, la empresa gana $400 X₁ si se producen X₁ toneladas de cera. También, en vista de que se gana 300 dólares por cada tonelada de pasta producida, la empresa gana$300 X₂ si se producen X₂ toneladas de pasta. Identificando con Z la contribución total a la utilidad y eliminando el signo de dólares se tiene:

El problema es encontrar la combinación de producción que maximice la contribución total a la utilidad. Esto es, se deben determinar los valores para X₁ y X₂ que den el valor más elevado posible de Z. En terminología de programación lineal, se nombran a X₁ y a X₂ como las variables de decisión. Dado que el objetivo de maximizar la utilidad es una función de éstas, entonces se dice que Z = 400 X₁ + 300 X₂ es la función objetivo, que también se puede escribir abreviando los coeficientes a unidades que significan cientos de dólares por tonelada producida, como sigue:

Cualquier combinación de producción de cera y pasta se conoce como una solución al problema. Sin embargo, únicamente aquellas soluciones que satisfagan todas las restricciones se conocen comosoluciones factibles o posibles. La combinación específica de producción factible, que resulte en la contribución mayor a la utilidad, se conoce como la combinación de producción óptima, o simplemente, la solución óptima. Pero primero se requiere conocer todas las restricciones del problema y posteriormente se muestra un método para definir gráficamente, en el plano de dibujo, el espacio en que se ubican el conjunto de puntos de solución factible.

3a. Parte.- Restricciones de materia prima.

La cantidad de materia prima disponible, condiciona o sujeta el valor de la función objetivo para cumplirse con los tres recursos limitados, calculando las posibles soluciones en las cantidades de cera y pasta que se pueden producir. Según la información de producción (vea la tabla), se sabe que cada tonelada de cera automotriz utiliza 2/5 toneladas del recurso 1, por lo que el total de toneladas del mismo utilizado en la producción de X₁ toneladas de cera es 2/5X₁; además, cada tonelada de pasta usa 1/2 tonelada del recurso 1, como resultado, X₂ toneladas de pasta usan 1/2 X₂ toneladas de recurso 1, entonces el consumo total de toneladas de recurso 1 para producir X₁ de cera y X₂ de pasta está dado por

Debido a que se tiene un máximo de 20 toneladas de materia prima 1 disponible, la combinación de producción a decidir debe satisfacer la restricción

La relación anterior es una desigualdad que anota las contribuciones al consumo de recurso 1, utilizadas en la producción de X₁ toneladas de cera y de X₂ toneladas de pasta, que debe ser menos que o igual a 20 toneladas disponibles.
La tabla indica que el recurso 2 no es requerido por la cera, pero si por la pasta pues cada tonelada producida de ésta requiere 1/5 tonelada de las 5 disponibles, se expresa así:

Si desea, ahora verifique por sí mismo que la restricción para la materia prima 3 es

Hasta aquí se han definido, las restricciones de materia prima; sólo falta establecer que las toneladas de cera y pasta no puede ser un número negativo.

4a parte.- Condiciones de valor no negativo para las variables:

Esto asegura valores no negativos de las variables de decisión como solución al problema presente, se conocen como restricciones de no negatividad y son una característica general de los problemas de programación lineal.

Modelo matemático del problema de Quimcar.

La formulación matemática o modelo simbólico, representa en forma abstracta, el objetivo y las restricciones del problema, trasladados del mundo real a un conjunto de relaciones matemáticas. El modelo completo del problema es:

Ahora sólo falta encontrar la combinación de productos cera y pasta expresados como toneladas de X₁ y X₂ que satisface todas las restricciones y también resulte en un valor máximo de la función objetivo, comparado con el valor de cualquier otra solución factible, lo que significa la solución óptima del problema.

Este modelo matemático del problema es programación lineal, tiene una función objetivo y restricciones, todas con la característica especial de que son una función lineal de las variables de decisión.

Las funciones matemáticas en las cuales sólo una de las variables aparece elevada a la primera potencia como un término independiente, se conocen como funciones lineales. La función objetivo 4X₁ + 3X₂ es lineal, porque cada una de las variables de decisión aparece en un término por separado con exponente 1. Si la función objetivo se presentara como 4X²₁ + 3X³₂, no se trataría de una función lineal. Por la misma razón, el número de toneladas de la materia prima 1 requerida, 2/5X₁+1/2X₂ , también es una función lineal de las variables de decisión. Similarmente, el lado izquierdo de todas las desigualdades de restricción son funciones lineales, así la formulación matemática del problema anterior se identifica como un programa lineal.

Solución gráfica

Un problema de programación lineal con sólo dos variables de decisión se puede resolver de manera gráfica sobre el espacio plano. Se inicia este procedimiento de solución desarrollando una gráfica que despliegue las posibles soluciones (valores X₁ y X₂) para el problema QUIMCAR. En la Figura 1-17 aparecen los valores de X₁ sobre un eje horizontal y los valores de X₂ sobre uno vertical. De esta manera se divide el plano o papel de trabajo, en cuatro espacios limitados por los ejes, formando así los cuadrantes 1, 2, 3 y 4. Cualquier punto de la gráfica puede quedar identificado por un par de valores X₁ y X₂, que representa la posición del punto con respecto de los ejes X₁ y X₂. Cada par (X₁, X₂) corresponde a un punto solución de esta manera se tendría una infinidad de ellos en el plano considerado. Pero para la solución particular en la que X₁ = 0 y X₂ = 0, se ubica un punto vértice identificado como origen para ambos ejes.

Figura 1-17. Algunos puntos solución para el problema QUIMCAR.

El siguiente paso es mostrar, qué puntos corresponden a soluciones factibles del programa lineal. Tanto X₁ como X₂ deben ser de valor no negativo, por lo que sólo es necesario considerar la porción de la gráfica en donde X₁ >= 0 y X₂ >= 0, lo que se conoce como primer cuadrante. En la Figura 1-18 las flechas indican el primer cuadrante, o sea, la región donde estos requisitos de no negatividad quedan satisfechos para la solución buscada.

Figura 1-18. Gráfica del primer cuadrante. Cumple las restricciones de no negatividad ( >= 0 ).

Anteriormente se determinó la desigualdad que representa la restricción para la materia prima 1 es:

Para mostrar todos los puntos solución que la satisfacen, se traza la línea que geométricamente representa a la ecuación lineal: 2/5X₁ + 1/2X₂, = 20 la cual debe ser recta, se calculan dos puntos pertenecientes a la misma y a continuación se traza una línea recta a través de los mismos. Para ello, arbitrariamente se buscan los puntos sobre los ejes en que, por supuesto, se tiene el valor de cero para una de las variables, así al hacer X₁ = 0, se ubica sobre el eje X₂ y resolviendo la ecuación en función de la variable X₂, queda ½ X₂ = 20, o también X₂ = 40; por lo tanto el punto (X₁=0, X₂=40) satisface la ecuación anterior, pues es la intersección de las rectas, eje X₂ y la que representa el recurso 1; alternativamente, para encontrar un segundo punto que satisfaga esta ecuación se hace X₂ = 0 y se resuelve en función de X₁. Al hacerlo se observa que 2/5X₁ = 20, es decir, X₁=50, por lo que un segundo punto que también satisface la ecuación es (X₁=50, X₂=0). Con estos dos puntos, se puede trazar la recta que se conoce como línea de restricción de la materia prima 1, mostrada en la Figura 1-19

Figura 1-19. La línea recta de restricción de la materia prima 1, ejemplo QUIMCAR.

La desigualdad que representa a la restricción de la materia prima 1 es:

¿Puede usted identificar las soluciones que satisfacen esta restricción?. Observe primero, que cualquiera de la infinidad de puntos que forman la línea recta de restricción 2/5X₁ + 1/2X₂, = 20 debe satisfacer a la misma; pero ¿dónde están los puntos solución que satisfacen la desigualdad: 2/5X₁ + 1/2X₂ < 20?. Ahora considere dos puntos de solución (X₁ =10, X₂ =10) y (X₁ =40, X₂ =30). La Figura 1-19muestra que la primera solución se ubica por debajo de la línea de restricción y la segunda queda por encima, entonces ¿cuál de estas soluciones satisface la restricción del recurso 1? Para el punto (X₁ =10, X₂ =10), se tiene:

Dado que 9 es menor que 20 toneladas de materia prima 1 disponible, la combinación o solución, de productos X₁=10 toneladas de cera automotriz, X₂=10 toneladas de pasta pulidora satisface la restricción del recurso 1, en este caso se califica a (10,10) como una solución factible. Por otro lado, para X₁ =40 y X₂ =30 se tiene:

31 es mayor que las 20 toneladas disponibles de recurso 1, por lo que la solución X₁ = 40 toneladas de cera, X₂ = 30 toneladas de pasta, no satisface la restricción, y por lo tanto la solución (40,30) no es factible.

Si una solución particular no es factible, todas las demás soluciones del mismo lado de la línea recta de restricción tampoco lo serán. Si una solución particular es factible, todas las demás soluciones del mismo lado de la línea de restricción serán factibles, por lo que solamente es necesario evaluar un punto de solución para determinar cuál es el lado de la línea de restricción que representa las soluciones factibles. En la Figura 1-20 , el área factible con todos los puntos que satisfacen la restricción de la materia prima 1 se muestra sombreada.

Figura 1-20. Región factible para la restricción de la materia prima 1, ejemplo QUIMCAR.

¿Se siente capaz de trazar una línea de restricción y localizar los puntos de solución que son factibles?. Si así lo desea intente resolver la restricción 2.

Para el caso que necesite más instrucción, a continuación se muestra la identificación de los puntos de solución que satisfacen la restricción de la materia prima 2:

Se empieza dibujando la línea de restricción correspondiente a la ecuación 1/5 X₂ = 5, que es equivalente a X₂ = 25, simplemente se dibuja una línea cuyo valor X₂ es 25, está línea es paralela a X₁ y está a 25 unidades por encima del eje horizontal. En la Figura 1-21 se dibuja la línea recta que corresponde a la restricción de la materia prima 2, la región sombreada corresponde a todas las combinaciones de producción que son soluciones factibles para la restricción de la materia prima 2.

Figura 1-21. Región factible de la restricción de materia prima 2, ejemplo QUIMCAR.

De manera similar, se puede diferenciar el conjunto de todas las soluciones factibles para la restricción de la materia prima 3. La Figura 1-22 muestra la zona de puntos factibles. Como ejercicio práctico, pruebe trazar la región factible de la restricción de la materia prima 3 y verifíquelo con este gráfico.

La segunda parte se continuara en la siguiente entrada.